Integrales

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Integrales definidas

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por  

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Aplicación.

El cálculo integral es, sin duda, una herramienta contundente a la hora de calcular longitudes de curvas, áreas de superficies y volúmenes de sólidos.

Su aplicación tiene un fin general en la arquitectura, crear proyectos con formas complejas y dinámicas

Los procesos geométricos y de calculo nos permiten manipular con mayor precisión nuestro diseño para llegar a resultado óptimos

Su aplicación se centra en edificios que tienen una figura amorfa , donde el calculo de su área resulta un poco complejo es por ello que se implementan las integrales definidas.

Segunda Derivada 

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Al derivar la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

Ejemplos:

• Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.
• Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

• Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Máximos y Mínimos

Para esto debemos encontrar los puntos críticos los cuales se obtienen despejando "x" en la primera derivada.

Una vez obtenidos los puntos críticos, reemplazamos estos valores en la ecuación principal obteniendo as las coordenadas precisas de dichos puntos. 

Aplicación en la Arquitectura. 

Se las aplica cuando los proyectos requieren de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas, al tener que calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares

Se necesita de las derivadas para: máximos, mínimos, concavidad, convexidad, inflexiones de alguna figura geométrica

 Proyecto para el nuevo Museo de Arte Contemporáneo de Milán 

Bibliografia:

http://estado.bligoo.es/criterios-de-la-segunda-derivada-para-maximos-y-minimos-locales-de-funciones#.VMU4mf6G9h4

http://profecarlinis.galeon.com/album1608406.html

http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_inflexi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_la_segunda_derivada

Derivada

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.
En la Arquitectura

En la Arquitectura las derivadas se las aplica cuando los proyectos requieren de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas, al tener que calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares

Se necesita de las derivadas para: máximos, mínimos, concavidad, convexidad, inflexiones de alguna figura geométrica

Arquitectura femenina: Benedetta Tagliabue y Shangai 2010

Bibliografia:

• http://rachidcarroumsanz.blogspot.com/2014/01/arquitectura-matematicas-i-derivadas.html
• http://www.arquitectavalencia.com/2010/05/arquitectura-femenina-benedetta.html
• https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080321211022AA2No1M
• http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
• 
  

Límites 

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x²-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(1²-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x	(x2-1)/(x-1)
0.5	1.50000
0.9	1.90000
0.99	1.99000
0.999	1.99900
0.9999	1.99990
0.99999	1.99999
...	...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x²-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

• Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
• Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Límites al ir a infinito

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
...	...

Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:

Límites en Arquitectura .

El concepto de límite es importante en análisis matemático; una herramienta básica para definir la derivada e integral definida, la existencia de número real al definir por un sistema de intervalos encajados, la potencia real de un real positivo. El plurimilenario caso de π, genial creatura de Arquímedes.

Importancia para la arquitectura

Desde el punto de vista arquitectónico-urbanístico, de lo que se trata en relación con el tema del límite, es de cómo hacer con que todos los elementos contenidos en la proximidad de un límite, real o imaginario, que actúa como separación entre territorios contiguos, pueda ser resinificada, operando una “juntura” en lugar de una separación.

 Límite en esta profesión hace referencia a aquello que determina un proyecto arquitectónico; ordena, determina o establece parámetros de diseño. Sin límites no puede haber creatividad, sin límites no puede haber diseño. El diseño libre, sin límites ya no es diseño, es solo arte.

Arquitectura tiene encuentra los límites y resuelve los problemas que ellos generan, mediante soluciones estratégicas de configuraciones en la forma.

"la forma sigue la función"

La función es un límite y se crea partiendo de límites.

Continuidad

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de \R en \R es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Funciones continuas en espacios topológicos

Sean  e  dos espacios topológicos. Una aplicación  se dice que es continua si:

 es un abierto de , cualquiera que sea el abierto  de . Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.

Esta definición se reduce a la definición ordinaria de continuidad de una función  si sobre  y  se considera la topología inducida por la distancia euclídea.

Con la misma notación anterior, si , diremos que  es continua en  cuando se obtiene que  es un entorno de , cualquiera que sea el entorno  de .

Es "inmediato" entonces comprobar que  es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Bibliografía

http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites.html

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-infinito.html

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20101221114254AAbt3jQ

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua

FUNCIONES

¿Qué son las funciones?

Es  una  regla   de  asociación  que  relaciona  dos  o  mas conjuntos  entre  si;  generalmente  cuando  tenemos  la  asaciones  de  dos  conjuntos  la función  se  define  como  una  regla  de  asociación  entre  un  conjunto  llamado DOMINIO  con  uno  llamado  CODOMINIO, también  dominio  e  imagen  respectivamente o DOMINIO  y  RANGO.

Función exponencial 

Se llama función exponencial de base a aquella forma genérica es f(x)= a  

Siendo a un número  positivo distinto  a 1. Por su propiedad definida, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

Aplicaciones

Torre Eiffel (1889)

Esta estructura de hierro pudelado diseñada por Gustave Eiffel aplica el álgebra y el cálculo infinitesimal para desarrollar una ecuación adaptable al peso de la torre. Para hacernos una idea de cómo se aplica, antes se debe comprender qué es una ecuación exponencial.

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en el exponente, representada por una función exponencial, es decir, una gráfica que nos muestra su desarrollo. Las funciones son infinitas, pero acercándonos siempre a un límite conocido por asíntotas dándose el 0 (plano horizontal del suelo) y +∞ (el eje vertical de la torre). El matemático Weidman dedujo la base para la construcción de la torre. Un factor crucial para los cálculos que Eiffel tenía en mente pasaba por calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento sobre determinados puntos estructurales de la Torre. Weidman encontró una solución exacta de la ecuación en forma de una función exponencial que se ajusta rigurosamente a la forma de la mitad superior

La clave para su solución deriva dedos ecuaciones exponenciales diferentes interconectadas: una para la mitad superior de la torre, y otra en la que interviene el factor de sobredimensionamiento de seguridad de la estructura en su base.

Funciones  Logarítmicas

}  Como vimos anteriormente la función exponencial dada por f(x) =a^x 

f  tiene una función inversa  f ^-1 . Esta inversa de la función exponencial con base a se llama función logarítmica con base a y se denota log_a.  

}  Sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se define como

y=log_a x  si y sólo si   x=a^y

Se llama Función Logarítmica  a la función real de variable real:

                          a  1        0    a    1

La Función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*  + en R.

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

Los números negativos y el cero no tienen ningún logaritmo.

La función logarítmica de base a es la reciproca de la función.

Funciones trigonométricas

En matemáticas, las funciones  trigonométricas  son  las  funciones  establecidas  con  el  fin  de extender  la  definición  de  las  razones  trigonométricas  a  todos  los  números  reales  y complejos.

Las  funciones  trigonométricas  son  de  gran  importancia  en  física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de engómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical.  Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente.  En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación  y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

Bibliografía:

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_algebraica

Aplicación de las Cónicas en la Arquitectura         

Cónicas

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse,parábola, hipérbola y circunferencia.

Elipse.

ANFITEATRO: Espacio de forma redonda, semicircular o elíptica rodeado de gradas, utilizado antiguamente para las luchas de gladiadores y otros espectáculos.

ESCALERA ELÍPTICA: Escalera de caracol cuyo cañón tiene forma de elipse.

DE CURVAS CÓNICAS

La superficie de una cúpula puede adoptar distintas formas según el método constructivo y las tradiciones formales, variando en función de la forma de planta y el

perfil de acuerdo a la cónica utilizada:

* Semiesférica, que es la forma más simple desde el punto de vista constructivo teniendo en cuenta el replanteo.

* Semi elipsoide de planta circular, utilizada en cúpulas rebajadas.

* Semi elipsoide de planta elíptica, adecuada a espacios rectangulares.

* Semi paraboloide de planta circular, permite cúpulas más estilizadas, "aliviando" la percepción formal del edificio.

* Semi paraboloide de planta elíptica.

* Semi hiperboloide de planta circular, también más esbelta, mejora el comportamiento estructural al reducir los empujes horizontales.

* Semi hiperboloide de planta elíptica.

Fórmula utilizada: X2=-4py 

L'OCEANOGRÁFIC 2002

PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia en una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo en el plano y que no pertenece a la recta. • El punto fijo se llama Foco y la recta fija se llama Directriz de la parábola. • La parábola aparece en muchas de las ramas de las ciencias aplicadas debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas.

Puentes:La forma parabólica del puente colgante es también interesante. A primera vista, la curva puede ser descrita como una catenaria. Una catenaria es una curva creada por la gravedad, Sin embargo, debido a que la curva en un puente de suspensión no se crea solamente por gravedad (las fuerzas de compresión y tensión actúan en él) no puede ser considerado una catenaria, sino más bien una parábola. La forma parabólica permite a las fuerzas de compresión que deben transferirse a las torres, que sostiene el peso del tráfico. La forma parabólica también se puede demostrar matemáticamente, usando comparaciones fórmula.

CONCHA ACÚSTICA Una parábola refleja un sonido producido en su foco según líneas paralelas. Una aplicación corriente de estas particularidades es la de los anfiteatros al aire libre en los que la concha atrás del escenario se diseña para reflejar los sonidos hacia al auditorio. La Concha Acústica de Schubert de Carpenter

CUBIERTAS DE BÓVEDAS PARABÓLICAS • En la actualidad las bóvedas parabólicas ofrecen a los arquitectos los más variados tipos de cubrición.

La circunferencia en arquitectura.  

¿Por qué el circulo y la esfera son las figuras más eficientes en el diseño de los espacios arquitectónicos? Cuando se estudian restos arqueológicos de los primeros asentamientos de los hombres encontramos en muchas ocasiones que la arquitectura de las viviendas y de muchos edificios tiene forma circular.

De manera resumida, vamos a enumerar las ventajas del uso del círculo y de la esfera en arquitectura.

-Ahorro en superficie de muros y cerramientos.

-Aumento de la eficiencia energética, gracias a una menor superficie de transferencia de calor.

-Un mejor comportamiento frente a los vientos y la  radiación solar.  En una fachada de muros perpendiculares, las orientaciones son directas. Sin embargo, en las fachadas de forma curva las orientaciones quedan diluidas, mejorando el aprovechamiento de la radiación solar y disminuyéndo las superficies penalizadas por su orientación en cuanto a la perdida o ganancia de calor.

En conclusión, el uso de la esfera y del círculo en arquitectura, es sin duda, la forma más eficiente de todas. Hoy en día, hay que tener en cuenta otro tipo de condicionantes, como son la organización  de las calles para permitir un tráfico fluido de vehículos, la complejidad en la construcción y los tiempos de ejecución, etc… todo esto hace que haya que plantear muchos condicionantes antes de tomar la decisión de diseñar edificios con formas circulares o esféricas.

Formula utilizada.

X2+y2=r2

Ojo de Londres.

una perfecta circunferencia, 

Matrices en la Arquitectura

Las Matrices en la Arquitectura consisten en ver las zonas del programa arquitectónico y ver sus relaciones ya sea directas, indirectas y nulas

Es un esquema organizado de intercomunicación entre los ambientes arquitectónicos planteado en función espacial, éstos son representados por figuras geométricas regulares de un mismo tipo (Círculos, Cuadros, etc.) los cuales se ordenan de acuerdo a la relación que exista o debe existir entre ellos.

Las matrices en la Arquitectura también son utilizadas al momento de realizar análisis de presupuestos o de precio unitario.

Existen tres tipos de matrices:

Matriz de espacios

Matriz por zonas

Matriz por áreas

Las Matrices en la Arquitectura consisten en ver las zonas del programa arquitectónico y ver sus relaciones ya sean directas,indirectas y nulas

Es un esquema organizado de intercomunicación entre los ambientes arquitectónicos planteado en función espacial, éstos son representados por figuras geométricas regulares de un mismo tipo (Círculos, Cuadros, etc.) los cuales se ordenan de acuerdo a la relación que exista o debe existir entre ellos.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conicas/marco_conicas.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola.html

http://www.construccion-y-reformas.vilssa.com/articulos/el-circulo-en-arquitectura